2006年成人高考数学课程辅导

第一章：集合和简易逻辑

复习要求：
一、了解集合的意义及其表示方法。了解空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法。
    1. 知道什么是集合，什么是集合的元素，并能正确地利用集合的几种表示方法给定的集合，以及判断给定集合的元素。
    2. 知道空集是一个集合，并且不含有任何元素，熟悉空集的记号。
    3. 知道什么是子集，什么是真子集，什么是集合相等，会运用这些概念判断一个集合是否是另一个集合的子集（真子集）和两个集合是否相等，知道空集是任何集合的一个子集。
二、了解符号的含义，并能运用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系。
三、理解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念。
   1. 知道什么叫充分条件、必要条件、充要条件。
   2. 能根据定义和学过的知识判断一个命题中的条件是结论成立的充分条件，还是必要条件，还是充分必要（充要）条件。

1.1集合
    在初中数学中，我们已经接触过“集合”一词．
    在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数
的集合”等．此外，对于一元一次不等式  
2x一1>3，
所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不
等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．  
    在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的
集合。几何图形都可以看成点的集合．  
    一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称
集．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西
洋、印度洋、北冰洋”也组成一个集合．我们一般用大括号表示集
合，上面的两个集合就可以分别表示成{我校篮球队的队员)与{太
平洋，大西洋，印度洋，北冰洋)．为了方便起见，我们还经常用
大写的拉丁字母表示集合．例如，A={太平洋，大西洋，印度洋，
北冰洋)，B={1，2，3，4，5)．
  下面是一些常用的数集及其记法．    ’
  全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作 
N，非负整数集内排除O的集，也称正整数集，表示成N*。或N+；
    全体整数的集合通常简称整数集，记作 Z；  
    全体有理数的集合通常向称有理数集，记作Q；
    全体实数的集合通常简称实数集，．记作R．
    集合中的每个对象叫做这个集合的元素．‘例如，“地球上的四  ：
大洋”这一集合的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．
    集合的元素常用小写的拉丁字母表示．如果a是集合A的元
素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，
就说a不属于集合A，记作

集合中的元素必须是确定的，这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就是确定了。例如，给出集合｛地球上的四大洋｝，它只是太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四个元素，其他对象都不是它的元素。又如，“我国的小河流”就是能组成一个集合，因为组成它的对象是不确定的。
集合的表示方法，常见的有列举法和描述法。
列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法。
例如，由方x ² －1＝0的所有的解组成的集合，可以表示为
｛－1，1｝.
注  集合｛－1，1｝的元素有2个。一般地，含有有限个元素的集合叫做有限集.
又如，由所有大于0且小于10的奇数组成的集合，可以表示为
｛1，3，5，7，9｝.
描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的地方。
例如，不等式 x－3>2的解集可以表示为
｛x∈ R | x－3>2｝,
我们约定，如果从上下文看，x∈ R是明确的，那么这个集合也可以表示为

｛x | x－3>2｝。
注   集合｛x|x－3>2｝的元素有无线个。一般地，含有无线个元素的集合叫做无线集。
又如，所有直角三角形的集合，可以表示为
                ｛x | x是直角三角形｝。
再看一个例子，由方程x ² ＋1＝0的所有实数解组合的集合，可以表示为
                     ｛x∈ R | x ² ＋1＝0｝，
这个集合是没有元素的，一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 。
    为了形象地表示集合，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合‘
    例如，图1－1表示任意一个集合A ；图1－2表示集合｛1，2，3，4，5｝。

1.2子集、全集、补集

1.子集
在集合与集合之间．存在着“包含’’与“相等”的关系．
先看集合与集合之间的“包含’’关系．设
    A={l，2，3)，  B＝{l，2，3，4．5}，
集合A是集合B的一部分，我们就说集合B包含集合A．
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都
是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作
这时我们也说集合A是集合B的子集．    ．
    当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作
                            
  再看集合与集合之间的“相等”关系。设
A={x | x ² －1＝0}，B={－1，1}，
集合A与集合B的元素是相同的，我们就说集合A等于集合B。
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，
我们就说集合A等于集合B，记作
A=B．
由集合的“包含"与“相等’’的关系，可以得出下面的结论。
 （1）对于任何一个集合A，因为它的任何一个元素都属于集合
  A本身，所以
 A A,
也就是说，任何一个集合是它本身的子集． 
我们常常涉及“真正的子集’的问题．对于两个集合A与B，
如果A B，并且A B ，我们就说集合A是集合B的真子集，记作
 ．
(2)对于集合A，B，如果A B，同时B A，那么A＝B。
    例1  写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是
它的真子集． 
解：集合{a，b}的所有的子集是 ，{a}，{b}，{a，b}，其中
 ，{a}，{b}是{a，b}的真子集．
    例2  解不等式 x一3 > 2，并把结果用集合表示．
    解：    x>5，
原不等式的解集是{x | x>5}．
    2．全集与补集  
看一个例子．
    设集合S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运动会
的同学的集合，而集合B是班上所有没有参加校动动会的同学的集
合，那么这三个集合有什么关系呢?容易看出，集合B就是集合S
中除去集合A之后余下来的集合．  
    一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即A S)．由
S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或
余集)，记作CsA，即
    CsA={x | x∈S，且x A}．  
    图l一4中的阴影部分表示A在S中的补集CsA．
    例如，如果S={l, 2，3，4,  5，6}，A={l，3，5}，那么
    CsA={2，4，6}．    。
   如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集
合就可以看作一个全集，全集通常用U表示．
    例如，在实数范围内讨论问题时，可以把实数集R看作全集
U，那么，有理数集Q的补集CsQ是全体无理数的集合．